Rozwiązywanie nierówności

Mówimy, że liczba spełnia nierówność, jeśli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej otrzymujemy nierówność prawdziwą. Np. liczba 7 spełnia nierówność x+1>5, bo 7+1>5. Rozwiązanie nierówności polega na wyznaczeniu zbioru wszystkich liczb, które spełniają ją.

PRZYKŁAD 1

a) rozwiąż nierówność x+3>7

Od obu stron nierówności odejmujemy 3

− nie zmienia to jej zbioru rozwiązań

Nierówność jest spełniona dla x ∈ (4; ∞)

PRZYKŁAD 2

b) rozwiąż nierówność x − 4 ≤ 5

Do obu stron nierówności dodajemy 4

− nie zmienia to jej zbioru rozwiązań

Nierówność jest spełniona dla x ∈ ( -∞; 9 〉

Przykłady

a) rozwiąż nierówność -⅓x > 5

Mnożymy obie strony nierówności przez −3

Zmieniamy zwrot nierówności

b) rozwiąż nierówność −6x − 4 ≤ −13

Do obu stron nierówności dodajemy 4

Dzielimy obie strony nierówności przez −6

Zmieniamy zwrot nierówności

Teraz spróbuj sam rozwiązać zadania, poniżej znajdziesz również rozwiązania

Ćwiczenie 1

Rozwiąż nierówność.

a) 3x + 7 ≤ 34

b) ¾ x − 1 > ⅓

c) 0,1x + 1 < -½

d) 5x − 7 ≥ 3x + 5

Ćwiczenie 2

Rozwiąż nierówność. Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności.

a) −3x − 7 < 2

b) -⅔x + 1 ≤ 5

c) 3(x − 1) ≥ x + 5

d) 2(x + ¼) > ½x + 4

e)

f)

ROZWIĄZANIA

Ćwiczenie 1

a) 3x + 7 ≤ 34

3x ≤ 34 − 7

3x ≤ 27 | : 3

x ≤ 9

b) ¾ x − 1 > ⅓

¾ x > ⅓ + 1

¾ x > 1⅓ | : ¾

x > ¹⁶⁄₁₉ = 1 ⁷⁄₉

c) 0,1x + 1 < -½

0,1x < -½ − 1

0,1x < −1½ | : 0,1

x < -³⁰⁄₂ = −15

d) 5x − 7 ≥ 3x + 5

5x − 3x ≥ 5 + 7

2x ≥ 12 | : 2

x ≥ 6

Ćwiczenie 2

a) −3x − 7 < 2

−3x < 2 + 7

−3x < 9 | : (−3)

x > −3

x ∈ ( −3; ∞)

b) -⅔x + 1 ≤ 5

-⅔x ≤ 5 − 1

-⅔x ≤ 4 | : (-⅔)

x ≥ -¹²⁄₂ = − 6

x ∈〈−6; ∞)

c) 3(x − 1) ≥ x + 5

3x − 3 ≥ x + 5

3x − x ≥ 5 + 3

2x ≥ 8 | :2

x ≥ 4

x ∈〈4; ∞)

d) 2(x + ¼) > ½x + 4

2x + ½ > ½x + 4 | · 2

4x + 1 > 1x + 8

4x − x > 8 − 1

3x > 7 | : 3

x > ⁷⁄₃

x ∈ ( ⁷⁄₃; ∞)

x ∈ ( -∞; 13)

x ∈〈-¹⁄₇; ∞)